Árboles fractales binarios simétricos autocontactados y sus geometrías contenidas

Abstract

En la naturaleza se encuentran muchos objetos que pueden describirse con la geometría clásica, pero algunos como los árboles no admiten una explicación sencilla y tiene que adentrarse en la geometría fractal, es decir tratar con estructuras que se repiten a diferentes escalas. Este trabajo concierne a los árboles fractales binarios obtenidos simétricamente, clasificándolos de acuerdo al tipo o ausencia de contacto en sus ramas, enfatizando en los árboles autocontactados y en su respectivo canopy, el cual es una curva fractal formada por puntos a los que se puede acceder acercándose al árbol "desde arriba". Cada árbol está definido por la relación de contracción crítica para ramas consecutivas y el ángulo de ramificación simétrica, datos con los que se construye el llamado Conjunto de Mandelbrot para árboles fractales binarios simétricos, donde se perciben observaciones meritorias de atención. Se analiza gráficamente la estructura de cada árbol en todos los rangos de ángulos, detallando geometrías clásicas contenidas en ellos y se vinculan con otros conjuntos geométricos fractales más complejos. Se presta especial análisis al número áureo y a la generación de los árboles dorados existentes con sus geometrías doradas incluidas. Finalmente, se verifica gráficamente la dimensión fractal del conjunto de puntas de cada árbol y respectivamente se analiza de forma matemática la dimensión del canopy mediante la Ecuación de Moran en cada ángulo, encontrando que la dimensión del canopy del árbol es siempre menor que la dimensión del conjunto de puntas respectiva, puesto que el canopy es un subconjunto del árbol mismo.

In nature there are many objects that can be described with classical geometry, but some such as trees do not admit a simple explanation and have to delve into fractal geometry, that is, deal with structures that are repeated at different scales. This work concerns binary fractal trees obtained symmetrically, classifying them according to the type or absence of contact in their branches, emphasizing self - contacting trees and their respective canopy, which is a fractal curve formed by points that can be accessed approaching the tree "from above". Each tree is defined by the critical contraction relationship for consecutive branches and the symmetric branching angle, data with which the so-called Mandelbrot Set for symmetric binary fractal trees is constructed, where meritorious observations of attention are perceived. The structure of each tree is graphically analyzed in all angle ranges, detailing the classical geometries contained in them and they are linked to other more complex fractal geometric sets. Special analysis is given to the golden number and the generation of the existing "golden" trees with their golden geometries included. Finally, the fractal dimension of the set of points of each tree is graphically verified and, respectively, the dimension of the canopy is analyzed mathematically using the Moran Equation at each angle, finding that the dimension of the tree canopy is always less than the dimension of the set of respective tips, since the canopy is a subset of the tree itself.

En la naturalesa es troben molts objectes que poden descriure's amb la geometria clàssica, però alguns com els arbres no admeten una explicació senzilla i ha d'endinsar-se en la geometria fractal, és a dir tractar amb estructures que es repeteixen a diferents escales. Aquest treball concerneix els arbres fractals binàries obtingudes simètricament, classificant-los d'acord amb el tipus o absència de contacte en les seves branques, emfatitzant en els arbres autocontactats i en el seu respectiu canopy, el qual és una corba fractal formada per punts als quals es pot accedir acostant-se a l'arbre "des de dalt". Cada arbre està definit per la relació de contracció crítica per a branques consecutives i l'angle de ramificació simètrica, dades amb els quals es construeix l'anomenat Conjunt de Mandelbrot per a arbres fractals binàries simètriques, on es perceben observacions meritòries d'atenció. S'analitza gràficament l'estructura de cada arbre en tots els rangs d'angles, detallant geometries clàssiques contingudes en ells i es vinculen amb altres conjunts geomètrics fractals més complexes. Es presta especial anàlisi al número auri i a la generació dels arbres daurats existents amb les seves geometries daurades incloses. Finalment, es verifica gràficament la dimensió fractal del conjunt de puntes de cada arbre i respectivament s'analitza de manera matemàtica la dimensió del canopy mitjançant l'Equació de Moran en cada angle, trobant que la dimensió del canopy de l'arbre és sempre menor que la dimensió del conjunt de puntes respectiva, ja que el canopy és un subconjunt de l'arbre mateix.