Construction of Hadamard Z2Z4Q8-codes

Abstract

This work deals with Hadamard Z2Z4Q8-codes, which are binary codes after a Gray map from a subgroup of the direct product of Z2, Z4 and Q8 groups, where Q8 is the non-commutative quaternion group. These kind of codes have five types ("shapes") and the values or range of values of several characteristic parameters is analyzed. Specifically, we show that all these codes can be represented in a standard form from a set of generators, as well as using the parameters of dimension of the kernel and rank. In addition, we present several methods that allow, given some preselected values of these parameters, the construction of Hadamard Z2Z4Q8-codes fulfilling them.

Este trabajo trata de los códigos Hadamard Z2Z4Q8, que son códigos binarios a partir de un mapa Gray de un subgrupo del producto directo de Z2, Z4 y grupos Q8, donde Q8 es el grupo de cuaterniones no conmutativos. Este tipo de códigos tiene cinco tipos ("formas") y se analizan los valores o rango de valores de varios parámetros característicos. En concreto, se muestra que todos estos códigos se pueden representar en una forma estándar de un conjunto de generadores, así como el uso de los parámetros de la dimensión del núcleo y rango. Además, se presentan varios métodos que permiten, dados algunos valores preseleccionados de estos parámetros, la construcción de los códigos Hadamard Z2Z4Q8.

Aquest treball tracta dels codis Hadamard Z2Z4Q8, que són codis binaris a partir d'un mapa Gray d'un subgrup del producte directe de Z2, Z4 i grups Q8, on Q8 és el grup de quaternions no commutatius. Aquest tipus de codis té cinc tipus ("formes") i s'analitzen els valors o rang de valors de diversos paràmetres característics. En concret, es mostra que tots aquests codis es poden representar en una forma estàndard d'un conjunt de generadors, així com l'ús dels paràmetres de la dimensió del nucli i rang. A més, es presenten diversos mètodes que permeten, donats alguns valors preseleccionats d'aquests paràmetres, la construcció dels codis Hadamard Z2Z4Q8.